Q. 선생님 강의 때 직접가서 뵈었어요. 선생님 강의 내용에서 제가 놓치고 있는 부분을 듣게 되어 정말 감사했어요.
선생님~ 사실은 저희 아이는 초6이지만 혼자서 수학을 선행하고 있는 아이에요. 지금은 중3학년 까지 대강 본 상태이구요. 선행을 시키려고 의도했던 것이 아니라, 아이가 수학적인 재능이 조금은 있지 않나 싶어요. 물론 선행을 해서 아이한테 온 부작용은 다름 아닌 학교 수업의 지루함이라 너무도 후회하는 면이 없지 않지만, 제가 선행을 시킨 것이 아니고 아이가 워낙 어릴 때부터 수학문제 푸는 것을 즐겼었습니다.
저희 아이는 사실은 5세 때 이미 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 개념을 너무도 정확히 이해하는 아이였어요. 4세 겨울에 어떤 분이 십자리 이상의 더하기를 손가락과 발가락으로 알려줬더니 그게 너무도 신기했나봐요. 순식간에 십의 자리 더하기, 백의 자리 더하기, 천의 자리 더하기를 이해하더니, 곱하기도 더하기로 알려줬거든요. 그랬더니 원리를 쉽게 이해하고, 아주 순간 나누기까지 쉽게 이해하게 되었습니다. 그러다 보니 유치원 때 이미 초등 저학년의 수학 책들을 쉽게 이해했고, 초1 때 학교 선생님이 문제집 푸는 것을 좋아하면 1031 같은 사고력 문제집을 풀리라고 해서 초급, 중급, 고급까지 사 주었더니 초2까지 다 푼 것 같아요. 그리고 1031 중학생 문제를 사줬더니 집합같은 개념을 전혀 모르는 몇가지 빼고는 다 풀더라구요. 걱정스러운 건 항상 머릿속에서 모든 것을 암산으로 풀고 끝낸다는 사실입니다.
그렇게 아무도 알려주지 않아도 초등과정, 그리고 반복을 할 필요가 없어서, 하루에 조금씩만 해도 스피드가 너무 빠른 거에요. 매일같이 20-30분 하거든요... 그러다 보니 어느 덧 중3까지 대강 봤고, 사람들이 말하는 중2(하)의 에이급 수학 정도까지는 그냥 혼자서 다 풀었습니다.
물론 문제집만 푸는 건 아닙니다. 워낙 수학에 관련된 내용을 좋아하는 편이에요. 자기의 꿈은 리만가설을 푸는 수학자가 되고 싶다고 합니다. 책도 리만가설, 페르마의 마지막 정리, 수학의 유혹, 수학자가 들려주는 수학 이야기, 놀랄만한 수학 아이디어와 문제들 등 수학의 관련된 책을 보는 것도 좋아하는 편입니다. 다만 자기가 좋아하는 분야의 책만 보는 편이에요.
제가 선생님께 여쭙고 싶은 건, 어떤 수학 문제든 그냥 읽고 머릿 속에서 답이 나오는 스타일의 아이에요. 그러다 보니 머릿속에서 오답이 생기기도 하지요... 그런데 고집이 세서 절대 풀이과정을 쓰지를 않아요.
방학 땐 선생님 말씀대로 자기가 푼 문제를 선생님이 되어서 저희한테 설명해 보라고도 했습니다. 하지만 이 녀석 노트에다가 절대로 쓰지를 않아요.. 그리고 너무도 다르게 푸는 수학 문제들이 있어요. 물론 답은 맞아요. 그리고 해답지를 보여주면 왜? 이렇게 푸는지 이해가 안간다는 말을 종종해요.
학년이 올라가면 올라갈수록 고집은 세어지고, 전 사교육은 하고 싶지 않은데 이 녀석의 수학을 어떻게 잡아줘야 할지 고민이 생깁니다. 선생님 어떻게 해야 하나요? 나름의 수학의 재능도 살려주고 싶은데 그럴려면 정말 이대로 계속 학년이 높게 이해하는 대로 가는 것이 맞는 건지... 아님 다른 좋은 방법이 있는지... 고민이에요..
A. 행복한 고민이군요. 다음에 드리는 말씀은 아이의 기를 꺾거나 아이의 능력을 깍아내릴 목적이 아님을 이해해 주시고, 혹시나 하는 마음으로 쓴 것이니 부모님이 체크해서 이상이 없다면 다행으로 여기시면 좋겠습니다. 그리고 제 개인적인 수학교육 철학에 동의하지 않으시면 무시해도 좋습니다.
제가 진행하는 해외 수학 체험 여행마다 따라오는 6학년 남자 아이가 있습니다.
어쩌면 둘이 그렇게 닮았는지 놀랐습니다. 다만 그 아이와의 차이는 정확성과 논리적인 부분, 그리고 사회성으로 보입니다. 스스로의 관심으로 출발해서 상급학년의 수학을 공부하는 것은 말리지 않아야 합니다. 그리고 장려할 수도 있지요.
그 아이도 EBS 다큐멘터리나 수학 프로그램을 시청하고 생기는 호기심을 억누를 수 없어 책이나 인터넷 조사를 통하여 익힌 수학 지식이 놀라울 정도입니다. 그리고 장차 수학자가 되는 꿈을 가지고 논리적인 엄밀한 증명법까지 익혀서 제 앞에서나 다른 학생들 앞에서 정확하게 듣는 사람의 입장을 생각해서 설명하는 데까지 이르고 있습니다. 그리고 이해가 부족하여 부연 설명을 요구하면 좀 더 쉬운 설명을 곁들이기도 합니다. 요즘 말하는 '의사소통 능력'이 뛰어난 아이지요.
아이가 모든 것을 암산으로 하는 것은 대단한 능력입니다. 다만 그것이 남에게 소통하고 남을 배려하는 측면에서 보다 쉽게 표현이 되어야 하는데, 그런 면에서 뭔가 깨달음이 필요한 듯 보입니다. 그리고 남이 풀어놓은 풀이를 이해하는 이해력도 필요합니다. 아직 어리기 때문에 우선 내가 푸는 풀이가 중요하기는 하지만 남의 풀이, 성인의 풀이에서도 배울 지혜가 많이 있다는 것을 자각하고 사고의 폭을 넓히는 것을 가르쳐야 합니다.
이런 부분만 잘 소화되어 자기가 푼 것을 남이 이해할 수 있도록 수식이나 언어, 그리고 적당한 표현 방법을 사용해야 한다는 것에 대한 자각과 다른 사람의 생각을 받아들이는 수용력 등을 보완한다면 앞으로 훌륭한 인재가 될 것으로 보입니다.
한 가지 추가되는 걱정은 선행의 문제점으로 드러나는 학교 수업에 대한 지루함입니다. 이것은 아이의 선행이 개념적인 부분에까지 깊이 있게 이루어지지 못하고 절차적인 지식의 습득이 반복되지 않았는가를 의심하게 하는 부분입니다. 특히 아이가 플었다는 에이급 수학이나 어려운 중학교 수학 문제집은 개념적인 깊이를 습득하기보다는 절차적인 기술 습득에 머무를 가능성이 많다는 점에서 걱정을 할 수 있습니다.
아이의 수학적 호기심이 문제집보다는 글로된 수학 책으로 확산되었으면 하고, 문제집은 충분한 개념적인 이해가 되었다고 판단하는 학년의 수준을 벗어나는 것을 지양했으면 합니다. 즉 중학교 2학년의 수학 개념을 정말로 충분히 이해했다는 확인이 된 이후에 문제집을 풀어야 하는데 그 부분을 다시 짚어보는 것이 좋겠습니다.
■ 추가질문
선생님 말씀에 절대적으로 공감하는 내용이구요~ 저 또한 수학문제 푸는 기술적인 아이이기 보다 깊이 있는 학문으로 받아들이기를 간절히 바라는 마음입니다.
그러기엔 제 자신이 너무 부족해서 어떻게 끌어줘야 할지 항상 고민이 많아요.
선생님 좋은 책 추천 좀 받을 수 있을까요? 도서관에서 빌리려면 막연할 때가 많다보니 자기가 알고 있는 쪽으로만 빌려 올때도 많거든요. 꼭 추천 좀 부탁드릴께요.
■ 추가답변
존 메이슨, 카예 스테이시, 레온 버튼 지음. <수학적 사고 길들이기>. 초록물고기를 한 번 읽도록 권해 주시지요
Q. 선생님 강의 때 직접가서 뵈었어요. 선생님 강의 내용에서 제가 놓치고 있는 부분을 듣게 되어 정말 감사했어요.
선생님~ 사실은 저희 아이는 초6이지만 혼자서 수학을 선행하고 있는 아이에요. 지금은 중3학년 까지 대강 본 상태이구요. 선행을 시키려고 의도했던 것이 아니라, 아이가 수학적인 재능이 조금은 있지 않나 싶어요. 물론 선행을 해서 아이한테 온 부작용은 다름 아닌 학교 수업의 지루함이라 너무도 후회하는 면이 없지 않지만, 제가 선행을 시킨 것이 아니고 아이가 워낙 어릴 때부터 수학문제 푸는 것을 즐겼었습니다.
저희 아이는 사실은 5세 때 이미 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기의 개념을 너무도 정확히 이해하는 아이였어요. 4세 겨울에 어떤 분이 십자리 이상의 더하기를 손가락과 발가락으로 알려줬더니 그게 너무도 신기했나봐요. 순식간에 십의 자리 더하기, 백의 자리 더하기, 천의 자리 더하기를 이해하더니, 곱하기도 더하기로 알려줬거든요. 그랬더니 원리를 쉽게 이해하고, 아주 순간 나누기까지 쉽게 이해하게 되었습니다. 그러다 보니 유치원 때 이미 초등 저학년의 수학 책들을 쉽게 이해했고, 초1 때 학교 선생님이 문제집 푸는 것을 좋아하면 1031 같은 사고력 문제집을 풀리라고 해서 초급, 중급, 고급까지 사 주었더니 초2까지 다 푼 것 같아요. 그리고 1031 중학생 문제를 사줬더니 집합같은 개념을 전혀 모르는 몇가지 빼고는 다 풀더라구요. 걱정스러운 건 항상 머릿속에서 모든 것을 암산으로 풀고 끝낸다는 사실입니다.
그렇게 아무도 알려주지 않아도 초등과정, 그리고 반복을 할 필요가 없어서, 하루에 조금씩만 해도 스피드가 너무 빠른 거에요. 매일같이 20-30분 하거든요... 그러다 보니 어느 덧 중3까지 대강 봤고, 사람들이 말하는 중2(하)의 에이급 수학 정도까지는 그냥 혼자서 다 풀었습니다.
물론 문제집만 푸는 건 아닙니다. 워낙 수학에 관련된 내용을 좋아하는 편이에요. 자기의 꿈은 리만가설을 푸는 수학자가 되고 싶다고 합니다. 책도 리만가설, 페르마의 마지막 정리, 수학의 유혹, 수학자가 들려주는 수학 이야기, 놀랄만한 수학 아이디어와 문제들 등 수학의 관련된 책을 보는 것도 좋아하는 편입니다. 다만 자기가 좋아하는 분야의 책만 보는 편이에요.
제가 선생님께 여쭙고 싶은 건, 어떤 수학 문제든 그냥 읽고 머릿 속에서 답이 나오는 스타일의 아이에요. 그러다 보니 머릿속에서 오답이 생기기도 하지요... 그런데 고집이 세서 절대 풀이과정을 쓰지를 않아요.
방학 땐 선생님 말씀대로 자기가 푼 문제를 선생님이 되어서 저희한테 설명해 보라고도 했습니다. 하지만 이 녀석 노트에다가 절대로 쓰지를 않아요.. 그리고 너무도 다르게 푸는 수학 문제들이 있어요. 물론 답은 맞아요. 그리고 해답지를 보여주면 왜? 이렇게 푸는지 이해가 안간다는 말을 종종해요.
학년이 올라가면 올라갈수록 고집은 세어지고, 전 사교육은 하고 싶지 않은데 이 녀석의 수학을 어떻게 잡아줘야 할지 고민이 생깁니다. 선생님 어떻게 해야 하나요? 나름의 수학의 재능도 살려주고 싶은데 그럴려면 정말 이대로 계속 학년이 높게 이해하는 대로 가는 것이 맞는 건지... 아님 다른 좋은 방법이 있는지... 고민이에요..
A. 행복한 고민이군요. 다음에 드리는 말씀은 아이의 기를 꺾거나 아이의 능력을 깍아내릴 목적이 아님을 이해해 주시고, 혹시나 하는 마음으로 쓴 것이니 부모님이 체크해서 이상이 없다면 다행으로 여기시면 좋겠습니다. 그리고 제 개인적인 수학교육 철학에 동의하지 않으시면 무시해도 좋습니다.
제가 진행하는 해외 수학 체험 여행마다 따라오는 6학년 남자 아이가 있습니다.
어쩌면 둘이 그렇게 닮았는지 놀랐습니다. 다만 그 아이와의 차이는 정확성과 논리적인 부분, 그리고 사회성으로 보입니다. 스스로의 관심으로 출발해서 상급학년의 수학을 공부하는 것은 말리지 않아야 합니다. 그리고 장려할 수도 있지요.
그 아이도 EBS 다큐멘터리나 수학 프로그램을 시청하고 생기는 호기심을 억누를 수 없어 책이나 인터넷 조사를 통하여 익힌 수학 지식이 놀라울 정도입니다. 그리고 장차 수학자가 되는 꿈을 가지고 논리적인 엄밀한 증명법까지 익혀서 제 앞에서나 다른 학생들 앞에서 정확하게 듣는 사람의 입장을 생각해서 설명하는 데까지 이르고 있습니다. 그리고 이해가 부족하여 부연 설명을 요구하면 좀 더 쉬운 설명을 곁들이기도 합니다. 요즘 말하는 '의사소통 능력'이 뛰어난 아이지요.
아이가 모든 것을 암산으로 하는 것은 대단한 능력입니다. 다만 그것이 남에게 소통하고 남을 배려하는 측면에서 보다 쉽게 표현이 되어야 하는데, 그런 면에서 뭔가 깨달음이 필요한 듯 보입니다. 그리고 남이 풀어놓은 풀이를 이해하는 이해력도 필요합니다. 아직 어리기 때문에 우선 내가 푸는 풀이가 중요하기는 하지만 남의 풀이, 성인의 풀이에서도 배울 지혜가 많이 있다는 것을 자각하고 사고의 폭을 넓히는 것을 가르쳐야 합니다.
이런 부분만 잘 소화되어 자기가 푼 것을 남이 이해할 수 있도록 수식이나 언어, 그리고 적당한 표현 방법을 사용해야 한다는 것에 대한 자각과 다른 사람의 생각을 받아들이는 수용력 등을 보완한다면 앞으로 훌륭한 인재가 될 것으로 보입니다.
한 가지 추가되는 걱정은 선행의 문제점으로 드러나는 학교 수업에 대한 지루함입니다. 이것은 아이의 선행이 개념적인 부분에까지 깊이 있게 이루어지지 못하고 절차적인 지식의 습득이 반복되지 않았는가를 의심하게 하는 부분입니다. 특히 아이가 플었다는 에이급 수학이나 어려운 중학교 수학 문제집은 개념적인 깊이를 습득하기보다는 절차적인 기술 습득에 머무를 가능성이 많다는 점에서 걱정을 할 수 있습니다.
아이의 수학적 호기심이 문제집보다는 글로된 수학 책으로 확산되었으면 하고, 문제집은 충분한 개념적인 이해가 되었다고 판단하는 학년의 수준을 벗어나는 것을 지양했으면 합니다. 즉 중학교 2학년의 수학 개념을 정말로 충분히 이해했다는 확인이 된 이후에 문제집을 풀어야 하는데 그 부분을 다시 짚어보는 것이 좋겠습니다.
■ 추가질문
선생님 말씀에 절대적으로 공감하는 내용이구요~ 저 또한 수학문제 푸는 기술적인 아이이기 보다 깊이 있는 학문으로 받아들이기를 간절히 바라는 마음입니다.
그러기엔 제 자신이 너무 부족해서 어떻게 끌어줘야 할지 항상 고민이 많아요.
선생님 좋은 책 추천 좀 받을 수 있을까요? 도서관에서 빌리려면 막연할 때가 많다보니 자기가 알고 있는 쪽으로만 빌려 올때도 많거든요. 꼭 추천 좀 부탁드릴께요.
■ 추가답변
존 메이슨, 카예 스테이시, 레온 버튼 지음. <수학적 사고 길들이기>. 초록물고기를 한 번 읽도록 권해 주시지요